Mükemmel Tek Sayılar

Mükemmel Sayı,Kendisi Hariç Çarpanlarının Toplamı Kendisini Veren Sayıdır.Bilinen Bütün Mükemmel Sayılar, Çift Sayıdır (6,28,496,8128, Gibi' ).Acaba Mükemmel Tek Sayı Var mıdır.' Varsa, Saklandığı Yerden Bulup Çıkartınız. Yoksa,Olmadığını İspatlayınız. Çözüm:

Mükemmel Çift Sayılar,2'.( 2''¹ - 1 ) Kuralına Göre Yazılabilirler.

n = 1 için n = 2 için n = 4 için 2 . 3 = 6,2² . 7 = 28,2'.31=496 Gibi

Dikkat Edilirse,2'' Çift Sayıdır Ve ( 2''¹ - 1 )İse Tek,Sayıdır.Çarpımı da Çift Sayı Olur. Mükemmel Tek Sayı Var İse çarpanları Tek Sayı Olmalıdır ki Tek Sayıyı Versin.Yani, X = ( 2k + 1 )'.[A] Şeklinde Yazabiliriz.X: Mükemmel Tek Sayı Kabul Edelim.
[A]: Tek Ve Asal Sayı Olsun.(2k+1): Tek Ve Asal Sayı Olsun.

Burada X Tek Sayı Olduğu İçin Asal Çarpanlarına Ayrıldığında Asal Çarpanları da Tek Sayıdır.(2k+1)'+(2k+1)¹+(2k+1)²+'+(2k+1)'+A+A.(2k+1)¹+A.(2k+1)²+'+ A.(2k+1)'¯¹ =(2k+1)'.A = X Şeklinde Yazılabilir. Buradan Hareketle,' _(p=o)^n(2k+1)'+A .' _(p=o)^(n-1)(2k+1)'=(2k+1)'.A '((2k+1) '^(+1)-1)/(( 2 k+1 )- 1) +A . (( 2 k+1 )'-1)/(( 2 k+1 )- 1) =( 2 k+1 )'.A'((2 k+1)'^(+1)-1)/(2k)+A.((2k+1)'-1)/(2k)=(2k+1)'.A
'((2 k+1 )'^(+1)-1+A.[(2k+1)'-1])/(2 k)=(2k+1)'.A '(2k+1)''¹-1+A.(2k+1)'-A=(2k).(2k+1)'.A'(2k+1)''¹ -1=A.(2k).(2k+1)'- A.(2k+1)' +A
'A.[(2k).(2k+1)'-(2k+1)'+1]=(2k+1)''¹-1'A.[(2k+1)' .( 2 k -1 ) + 1 ] = ( 2 k + 1 ) ''¹ -1 'A=((2 k+1 )'^(+1)-1)/((2k+1)' .(2 k-1 )+ 1) 

İfadesi Elde Edilir. Burada A, Tek Ve Aynı Zamanda Asal Sayı Olmalıdır.

k=1 için ve n=1 için 'A=((2k+1)'^(+1)- 1)/(( 2 k+1 )'.(2k-1)+1)
'A=(3'^(+1)-1)/(3'+1)=(3²-1)/(3+1)= 8/4=2 2 Asal Sayıdır,Fakat Çift Sayı Olduğundan Çarpım Tek Sayı Çıkmaz. Yani 2.3=6 Sonucu Çıkar.A=3 Olsun(k=1 İçin)3=(3'^(+1)-1)/(3'+1)'3.3'+3=3'^(+1)-1 '3'^(+1)+3
=3'^(+1)- 1 '3 '-1 Sağlamadı. A=3 Ve k=2 Olsun 3=(5'^(+1)-1 )/(5 '.3+1)'9.5'+3=5.5'-1 '4.5' =-4'5' = -1(Bu Eşitliği Sağlayacak 'n' Tam Sayısı Yoktur.)Aynı Şekilde İşlemlere Devam Edilirse, Bu Eşitliği Sağlayacak A, Tek Ve Asal Sayı Olacak Şekilde(k) Ve (n) Tam Sayıları Yoktur.Sonuç Olarak, Mükemmel Tek Sayı Yoktur.