Cauchy Sekansları

Gerçek sayılarda bir Cauchy dizisi, terimleri arasındaki farkın istediğimiz kadar küçük yapılabileceği bir dizidir. Yani, bir ε > 0 sayısı için, N ∈ ℕ bir doğal sayı vardır öyle ki n, m ≥ N ise |a_n - a_m| < ε olur. Cauchy dizilerinin temel özelliği, her Cauchy dizisinin bir limitinin olması ve bu limitin dizinin değerlerinin kümesinin kümesidir.

Cauchy dizilerinin metrik uzaylarda da bir genellemesi vardır. Bir metrik uzay (X, d) için bir Cauchy dizisi, herhangi bir ε > 0 için bir N ∈ ℕ doğal sayısı vardır öyle ki n, m ≥ N ise d(a_n, a_m) < ε olur. Metrik uzaylarda Cauchy dizilerinin de bir limitleri vardır ve bu limit, dizinin değerlerinin kümesinin kümesinin bir elemanıdır.

Cauchy dizileri, analizde sınırları incelemek, seri toplamlarını hesaplamak ve sürekli fonksiyonlar tanımlamak için önemli bir araçtır. Ayrıca, topolojide, eksiksiz metrik uzayların tanımlanmasında ve kompakt kümelerin karakterizasyonunda kullanılır.