Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri

Çok değişkenli fonksiyonların türevleri, tek değişkenli fonksiyonların türevlerinin genellemeleridir. Bir fonksiyonun birden fazla bağımsız değişkenine göre kısmi türevlerini alarak hesaplanırlar.

Kısmi Türevler:

Çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, diğer tüm değişkenleri sabit tutularak bir değişkene göre alınan türevidir. f(x, y, z) fonksiyonu için kısmi türevler şöyle ifade edilir:

• f_x(x, y, z) = lim_Δx→0 [f(x+Δx, y, z) - f(x, y, z)]/Δx
• f_y(x, y, z) = lim_Δy→0 [f(x, y+Δy, z) - f(x, y, z)]/Δy
• f_z(x, y, z) = lim_Δz→0 [f(x, y, z+Δz) - f(x, y, z)]/Δz

Gradyan:

Çok değişkenli bir fonksiyonun gradyanı, tüm kısmi türevlerin bir vektöründe birleştirilmesiyle elde edilir:

∇f = (f_x, f_y, f_z)

Gradyan, fonksiyonun en hızlı değişim yönünü ve bu yöndeki değişim oranını verir.

Zincire Türev Kuralı:

Çok değişkenli fonksiyonların türevlerini hesaplamak için zincir kuralı uygulanabilir. Eğer f(g(x, y), h(x, y)) bir fonksiyon ise türevi şöyledir:

f_x = f_gg_x + f_hh_x

f_y = f_gg_y + f_hh_y

Uygulamalar:

Çok değişkenli fonksiyonların türevleri, aşağıdakiler gibi çeşitli uygulamalara sahiptir:

• En büyük ve en küçük değerlerin bulunması
• Optimizasyon problemleri
• Çoğ değişkenli integraller
• Fizik ve mühendislik modellerinin incelenmesi