Çözülebilirlik Denklemleri

Bir çözülebilirlik denklemi, kökleri cebirsel ifadelerle ifade edilebilen bir denklemdir. Galois teorisinde önemli bir rol oynayan çözülebilirlik denklemleri, matematiğin birçok alanında kullanılır.

Bir beşinci dereceden veya daha yüksek bir polinomun çözülebilirlik denkleminin genel formülü yoktur. Ancak, dörde kadar dereceden olan polinomlar için çözülebilirlik kriterleri geliştirilmiştir.

Dereceleri 2 ve 3 Olan Denklemler

İkinci dereceden bir denklemin iki kökü vardır ve bu kökler aşağıdaki ifade kullanılarak bulunabilir:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Burada a, b ve c, denklemin katsayılarıdır.

Üçüncü dereceden bir denklemin üç kökü vardır ve bu kökler aşağıdaki Cardano formülü kullanılarak bulunabilir:

x = (-b/3a) + [(b² - 3ac)/3a]¹/² + ((b² - 3ac)/3a)¹/² exp(2iπ/3)

Burada i, sanal birimdir.

Derecesi 4 Olan Denklemler

Dördüncü dereceden bir denklemin dört kökü vardır ve bu kökler aşağıdaki Ferrari formülü kullanılarak bulunabilir:

x = u - v

Burada u ve v aşağıdaki ifade kullanılarak bulunur:

u³ = (-b/4a) + (b² - 4ac)/8a³ - (g/16a²)³

v³ = (-b/4a) - (b² - 4ac)/8a³ + (g/16a²)³

Burada g, denklemin katsayıları ile ilişkili bir parametredir.

Daha Yüksek Derecelerdeki Denklemler

Derecesi 5 veya daha yüksek olan denklemler için genel bir çözüm formülü yoktur. Ancak, Galois teorisini kullanarak, bu denklemlerin olup olmadığı belirlenebilir.

Galois teorisine göre, bir denklemin çözülebilir olup olmadığını belirleyen şey, denklemin Galois grubunun yapısıdır. Galois grubu, denklemin tüm köklerini ve bunlar arasındaki tüm permutasyonları içeren bir grup yapısıdır.

Galois teorisinin önemli bir sonucu, Galois grubunun çözülebilir olması durumunda denklemin çözülebilir olduğu, ancak Galois grubunun çözülemez olması durumunda denklemin çözülemez olduğudur.