Çözüm kümesi ve Gauss Elemesi ile Doğrusal Denklemler Sistemleri

Doğrusal Denklemler Sistemleri

Bir doğrusal denklem sistemi, birden fazla bilinmeyen içeren ve her bir denkleminin birinci dereceden olduğu bir denklem kümesidir. Bir sistemin genelleştirilmiş formu şu şekildedir: ``` a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm ```

Çözüm Kümesi

Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi, sistemin tüm çözümlerinin toplamıdır. Çözüm kümesi sonlu, sonsuz veya boş olabilir.

Gauss Elemesi

Gauss elemesi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir. Yöntem şu adımlardan oluşur: 1. Sistemi basamaklı biçime getirmek 2. Son satırdan başlayarak, yukarı doğru çalışarak tanımsız katsayıları sıfırlamak 3. Sistemi çözmek için geriye doğru ikame yapmak

Adımların Ayrıntısı

1. Basamaklı Biçim: * İlk denklemin ilk katsayısının 1 olmasını sağlayın. * Diğer denklemlerde ilk sütundaki katsayıları sıfırlayın. * Bu işlemleri diğer sütunlar için tekrar edin. 2. Tanımsız Katsayıları Sıfırlama: * Üstteki satırın katsayısını alttaki satırın katsayısına bölün ve alttaki satırdan üstteki satırı çıkarın. * Bu işlemi, son satırdan başlayarak yukarı doğru tekrarlayın. 3. Geriye Doğru İkame: * Son denklemdeki bilinmeyeni çözün. * Bu değeri önceki denklemde ikame edin ve bir sonraki bilinmeyeni çözün. * Bu işlemi sistemdeki tüm bilinmeyenler için tekrar edin.

Örnek

Şu sistemi Gauss elemesi kullanarak çözün: ``` 2x + 3y = 1 x - y = 2 ``` Basamaklı Biçim: ``` 2x + 3y = 1 0 - 5y = 1 ``` Tanımsız Katsayıların Sıfırlanması: ``` 2x + 3y = 1 0 - 1 = 1/5 ``` Geriye Doğru İkame: * y = 1/5 * x = (1 - 3y)/2 = 1/5 Çözüm Kümesi: ``` {(x, y) | x = 1/5, y = 1/5} ```