Elips ve Hiperbol'ün Denklemlerinin Türetilmesi

İkinci dereceden iki değişkenli bir denklemin genel biçimi şöyledir:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

Bu denklem, elips, hiperbol veya parabol gibi farklı konik kesitler oluşturabilir. Elips ve hiperbol, özellikle fizik ve mühendislik gibi alanlarda önemli olan iki özel konik kesittir.

Elips

Elips, uzunlukları arasında sabit bir orantı bulunan odak noktalarına sahip kapalı bir eğridir. Elipsin standart denklemi şöyledir:

x²/a² + y²/b² = 1

Burada a ve b sırasıyla elipsin yarı büyük eksen ve yarı küçük eksenleridir.

Hiperbol

Hiperbol, iki odak noktası arasında sabit bir fark bulunan açık bir eğridir. Hiperbolün standart denklemi şöyledir:

x²/a² - y²/b² = 1

Burada a ve b sırasıyla hiperbolün yarı gerçek ve yarı sanal eksenleridir.

Türetim

İkinci dereceden iki değişkenli genel denklemin konik kesitler oluşturabileceğini kanıtlayabiliriz. Denklemi şu şekilde yeniden düzenleyebiliriz:

(ax² + bxy + cy²) + (dx + ey) + f = 0

x ve y değişkenlerini tamamlayarak denklemi aşağıdaki biçime getirebiliriz:

(ax² + bxy + cy²) + 2(dx + ey) + (d² + e² - 4f) = 0

Sol tarafı bir kare olarak tamamladıktan sonra denklemi şöyle yazabiliriz:

(ax + by + g)² + (d² + e² - 4f - bg - a²) = 0

Burada g, ilk terimin katsayısıdır. Bu denklemin farklı değerleri için farklı konik kesitler oluşur.

d² + e² - 4f - bg - a² < 0 ise denklemi temsil eden eğri bir elipstir.

d² + e² - 4f - bg - a² > 0 ise denklemi temsil eden eğri bir hiperboldur.

d² + e² - 4f - bg - a² = 0 ise denklemi temsil eden eğri bir paraboldur.