Hilbert Uzayları

Matematikte Hilbert uzayları, iç çarpımla donatılmış tam lineer uzaylardır. Adını ünlü Alman matematikçi David Hilbert'ten almışlardır. Hilbert uzayları, fonksiyonel analiz, kuantum mekaniği ve sinyal işleme gibi birçok matematik ve fizik dalında temel bir yapı taşıdır.

Bir Hilbert uzayında, iç çarpım

⟨⋅,⋅⟩

olarak gösterilir ve aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• ⟨x, x⟩ ≥ 0

  her

  x ∈ H

  için.

• ⟨x, y⟩ = 0

  her

  x, y ∈ H

  için ancak ve ancak

  x = 0

  .

• ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩

  her

  x, y ∈ H

  için.

• ⟨αx + βy, z⟩ = α⟨x, z⟩ + β⟨y, z⟩

  her

  x, y, z ∈ H

  ve

  α, β ∈ ℂ

  için.

Bir Hilbert uzayı, sonsuz boyutlu olabilir. Sonlu boyutlu Hilbert uzayları, Öklid uzaylarının genellemeleridir. Örneğin,

ℝ³

üç boyutlu bir Öklid uzayıdır ve

⟨x, y⟩ = x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

iç çarpımıyla donatılmıştır.

Hilbert uzayları, fonksiyonel analizin temel bir konusudur. Hilbert uzaylarındaki doğrusal operatörler, analitik fonlar, diferansiyel denklemler ve olasılık teorisi gibi birçok alanda çalışılır.