İntegralin Tanımı ve Özellikleri

İntegral, matematikte bir fonksiyonun grafiği altındaki alan miktarını hesaplamak için kullanılan bir işlemdir. Geliştirilmiş biçimiyle ise, eğriler veya yüzeyler tarafından sınırlandırılan alanları ve hacimleri hesaplamak için güçlü bir araçtır.

İntegralin temel kavramı, bir fonksiyonun grafiğinin altında bulunan küçük dikdörtgen alanları toplamaktır. Dikdörtgenlerin yükseklikleri, fonksiyon değerlerine eşittir ve genişlikleri, grafiği bölmek için kullanılan aralığın genişliğine eşittir. Sınır, aralıktaki sonsuz sayıda dikdörtgenin alanı alındığında elde edilir.

Resmi olarak, bir fonksiyonun [a, b] aralığındaki integrali, şu limit olarak tanımlanır:

∫[a, b] f(x) dx = lim_n→∞ Σ[i=1, n] f(x_i) Δx

burada:

* n, [a, b] aralığını n eşit alt aralığa böler. * x_i, i. alt aralığın orta noktasıdır. * Δx = (b - a)/n, her alt aralığın genişliğidir.

Bu limitte, alt aralıkların sayısı sonsuza gider ve genişlikleri sıfıra yaklaşır. Bu, интегралın kesin tanımıdır.

İntegralin bazı önemli özellikleri şunlardır:

* Lineerlik: ∫[a, b] (cf(x) + dg(x)) dx = c∫[a, b] f(x) dx + d∫[a, b] g(x) dx * Sabit çarpanın integrali: ∫[a, b] cf(x) dx = c∫[a, b] f(x) dx * Aralığın toplamı integrali: ∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx * İntegral Teoremi: Eğer f sürekli bir fonksiyon ise, o zaman [a, b] aralığındaki integrali, f(x) grafiğinin altındaki alana eşittir.