Matematikte Newton Basamak Yöntemi

Newton basamak yöntemi, bir fonksiyonun kökünü iteratif olarak yaklaştıran bir yöntemdir. Newton-Raphson yöntemi olarak da bilinir ve Isaac Newton ve Joseph Raphson tarafından bağımsız olarak geliştirilmiştir.

Bu yöntem, fonksiyonun bir kestirimine, yani köküne yakın bir değere sahip olmakla çalışır. Ardından kök, aşağıdaki formül kullanılarak her iterasyonda daha da yaklaştırılır:

``` x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub> - f(x<sub>n</sub>) / f'(x<sub>n</sub>) ```

Burada:

* x_n, n'inci iterasyondaki kestirimdir. * f(x), kökünü bulmak istediğimiz fonksiyondur. * f'(x), f(x) fonksiyonunun türevidir.

Yöntemin nasıl çalıştığını anlamak için, ikinci dereceden bir polinomun kökünü bulmaya çalışalım:

``` f(x) = x<sup>2</sup> - 5x + 6 ```

Polinomun türevi:

``` f'(x) = 2x - 5 ```

Bir kestirim olarak x₀ = 2 alalım. Formülü kullanarak ilk iterasyonu hesaplayalım:

``` x<sub>1</sub> = x<sub>0</sub> - f(x<sub>0</sub>) / f'(x<sub>0</sub>) x<sub>1</sub> = 2 - (2<sup>2</sup> - 5(2) + 6) / (2(2) - 5) x<sub>1</sub> = 2.5 ```

İkinci iterasyonu hesaplayalım:

``` x<sub>2</sub> = x<sub>1</sub> - f(x<sub>1</sub>) / f'(x<sub>1</sub>) x<sub>2</sub> = 2.5 - (2.5<sup>2</sup> - 5(2.5) + 6) / (2(2.5) - 5) x<sub>2</sub> = 2.4375 ```

Bu şekilde iterasyonlara devam edebiliriz. Yöntemin her iterasyonda daha iyi bir kestirim ürettiğini görebiliriz.

Newton basamak yöntemi, kökleri hızlı bir şekilde yaklaştırmasıyla bilinir. Ancak, türevlenebilir fonksiyonlar için çalışır ve bazı durumlarda sapmayabilir veya geçerli bir kök üretmeyebilir.