Polinomların Kok Teoremi

Polinomların Kok Teoremi, bir polinomun köklerini onun katsayıları aracılığıyla ilişkilendirerek veren temel bir cebir teoremidir. Özellikle, derecesi n olan bir polinomun p(x) kökleri x₁, x₂, ..., x_n olduğunda, aşağıdaki ilişki geçerlidir:

p(x) = (x - x₁)(x - x₂) ... (x - x_n)

Bu teorem, bir polinomun köklerini bulmak için güçlü bir araçtır. Ayrıca, polinomların bölme algoritması, polinomların maksimum ortak bölenini bulmak ve polinomları çarpanlarına ayırmak gibi diğer cebirsel tekniklerin temelini oluşturur.

Kanıt

Teoremi, matematiksel tümevarımla kanıtlayabiliriz. n = 1 durumu açıktır. n = k için varsayalım ki teorem doğru olsun. Yani, derecesi k olan bir polinomun p(x) kökleri x₁, x₂, ..., x_k olduğunda, p(x) = (x - x₁)(x - x₂) ... (x - x_k).

Şimdi, derecesi k+1 olan bir polinomun p(x) olduğunu düşünelim. p(x) polinomunun kökü x ise, o zaman (x - x₀)p(x) polinomunun derecesi k'dır. Varsayıma göre, (x - x₀)p(x) = (x - x₁)(x - x₂) ... (x - x_k) yazılabilir. Buradan, p(x) = (x - x₁)(x - x₂) ... (x - x_k)(x - x₀) elde edilir.

Dolayısıyla, Polinomların Kok Teoremi tüm n için doğrudur.

Uygulamalar

Polinomların Kok Teoremi, cebirde birçok uygulamaya sahiptir:

• Polinomların köklerini bulmak
• Polinomları çarpanlarına ayırmak
• Polinomların maksimum ortak bölenini bulmak
• Polinomların bölme algoritması
• Galois teorisi ve Galois grupları