Sinüs ve Kosinüs Teorem

Sinüs ve kosinüs teoremleri, üçgenlerin kenar ve açılar arasındaki ilişkileri belirleyen önemli trigonometri teoremleridir.

Sinüs Teoremi

Sinüs teoremi, bir üçgendeki herhangi bir kenarın, karşı açının sinüsü ile orantılı olduğunu belirtir.

Formül: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Burada:

• a, b, c üçgenin kenarlarıdır.
• A, B, C karşılık gelen üçgenin açılarıdır.

Kosinüs Teoremi

Kosinüs teoremi, bir üçgendeki herhangi bir kenarın, diğer iki kenarın ve bunları oluşturan açının kosinüsü arasındaki ilişkiyi belirtir.

Formül: c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Burada:

• c üçüncü kenardır.
• a, b diğer iki kenardır.
• C bu kenarların oluşturduğu açıdır.

Kullanımları

Sinüs ve kosinüs teoremleri, aşağıdakiler de dahil olmak üzere çeşitli üçgen problemlerini çözmek için kullanılabilir:

• Eksik kenarları ve açıları bulma
• Alan ve çevre hesaplama
• İki üçgenin benzerliğini kanıtlama
• Çemberlerde ve kürelerde açısal ilişkileri inceleme

Örnekler

Örnek 1: Açıları 30°, 60° ve 90° olan bir üçgende, en uzun kenarın uzunluğunu bulmak için sinüs teoremini kullanın.

Cevap: a/sin(30°) = b/sin(60°) = c/sin(90°) => b = 2a

Örnek 2: Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 9 cm olan bir üçgende, 5 cm ve 7 cm kenarları arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoremini kullanın.

Cevap: 9² = 5² + 7² - 2(5)(7)cos(C) => cos(C) = 3/5 => C = 53,13°