Sinüs ve Kosinüs Teoremlerinin Kanıtları

Teorem 1: Sinüs Teoremi

Bir üçgende, bir açının sinüsü o açının karşısındaki kenarın, tüm kenarların çarpım çember çapına oranına eşittir:

``` sin A = (a / 2R) ```

Burada:

• A, açıdır
• a, açı A'nın karşısındaki kenardır
• R, üçgenin çember çapıdır

Kanıt:

Üçgenin içine bir çember çizip, çember merkezinin açı A'nın karşısındaki kenara düşen dikmesini çizelim. Bu dikme, açı A'yı iki dik açılı üçgene böler.

İlk dik açılı üçgende, ``` sin A = (h / a) ```

İkinci dik açılı üçgende, ``` sin (180° - A) = (h / b) ```

İki sinüs eşitliği eşitlenir ve açıların toplamı 180° olduğu göz önüne alınır:

``` sin A = sin (180° - A) = (h / a) = (h / b) ```

Bu, ``` a = b ```

veya ``` a = b / sin A ```

Benzer şekilde, ``` b = c / sin B ```

``` c = a / sin C ```

Bu üç denklemi çarparak, ``` abc = (a / sin A) * (b / sin B) * (c / sin C) = (a / 2R) ```

Çünkü çember çapı, ``` 2R = a / sin A + b / sin B + c / sin C ```

Bu, Sinüs Teoreminin kanıtını tamamlar.

Teorem 2: Kosinüs Teoremi

Bir üçgende, bir kenarın karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamı eksi o iki kenarın çarpımı ile o kenarlara ait açının kosinüsünün iki katının çarpımına eşittir:

``` a² = b² + c² - 2bc * cos A ```

Burada:

• a, c kenarlarının karşısında olan açıdır
• a, açı A'nın karşısındaki kenardır
• b, c, açı A'nın komşu kenarlarıdır

Kanıt:

Üçgenin içine bir çember çizip, çember merkezinin açı A'nın karşısındaki kenara düşen yatayını çizelim. Bu yatay, açı A'yı iki dik açılı üçgene böler.

İlk dik açılı üçgende, Pisagor Teoremi uygulanır:

``` h² = b² - (a / 2)² ```

İkinci dik açılı üçgende, yine Pisagor Teoremi uygulanır:

``` (c / 2)² = h² - (a / 2)² ```

İlk denklem ikinci denkleme ikame edildiğinde, ``` (c / 2)² = b² - (a / 2)² ```

Bu, ``` c² = 2b² - a² ```

Benzer şekilde, ``` b² = 2c² - a² ```

``` a² = 2c² - b² ```

Bu üç denklemin herhangi birini Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirerek kanıt tamamlanır.