Sinüs ve Kosinüsün Tanımlanması ve Özellikleri

Trigonometrinin temelini oluşturan sinüs ve kosinüs fonksiyonları, dik üçgenlerde tanımlanır. Sinüs fonksiyonu, karşı kenarı hipotenüse oranla verirken, kosinüs fonksiyonu, bitişik kenarı hipotenüse oranla verir.

İşte sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının tanımı:

Sinüs (sin): Karşı kenarın hipotenüse oranı Sin θ = Karşı kenar/Hipotenüs

Kosinüs (cos): Bitişik kenarın hipotenüse oranı Cos θ = Bitişik kenar/Hipotenüs

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları, aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• Aralıkları [-1, 1]'dir.
• 0°'de 0, 90°'de 1 ve 180°'de 0 değerini alırlar.
• Öteleme periyotları 360°'dir.
• Tanım bölgesi tüm gerçek sayılardır.
• 90° ile 180° arasında negatif, 270° ile 360° arasında pozitif değerler alırlar.
• Birim çemberde aşağıdaki noktalarda tanımlanırlar:
  • Sinüs: y ekseninden x eksenine doğru ölçülen dikey koordinat.
  • Kosinüs: x ekseninden y eksenine doğru ölçülen yatay koordinat.

Sinüs ve Kosinüs Temel Özdeşlikleri

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları, çeşitli özdeşliklerle birbirleriyle ilişkilidir. Bu özdeşlikler, trigonometrik ifadeleri basitleştirmek ve çözmek için kullanılır.

İşte en yaygın sinüs ve kosinüs temel özdeşlikleri:

• Pitagor Teoremi Özdeşliği:

  sin² θ + cos² θ = 1

• Karşılıklı Özdeşlikler:

  sin θ = cos(90° - θ)

  cos θ = sin(90° - θ)

• Toplam ve Fark Özdeşlikleri:

  sin(θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ

  cos(θ + φ) = cos θ cos φ - sin θ sin φ

  sin(θ - φ) = sin θ cos φ - cos θ sin φ

  cos(θ - φ) = cos θ cos φ + sin θ sin φ

• Çift ve Yarım Açılı Özdeşlikler:

  sin 2θ = 2 sin θ cos θ

  cos 2θ = cos² θ - sin² θ = 2cos² θ - 1 = 1 - 2sin² θ

  sin (θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)

  cos (θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)