Sylow Teoremleri

Sylow teoremleri, sonlu grupların alt grupları hakkında önemli bilgiler veren bir sonuçlar kümesidir. Bu teoremler, bir gruptaki bir eleman düzen bölümlerinin sayısını, o eleman düzeninde alt grupların varlığını ve bu alt grupların özelliklerini belirler.

Birinci Sylow Teoremi: Bir grupta bir asal sayı p'nin bir bölücü olarak alt grup düzeninde göründüğünü farz edelim. O zaman, düzen p^k olan bir alt grup vardır ve bu alt grupların sayısı p'nin alt grup düzeninde görünme çarpanlarına bölünebilir.

İkinci Sylow Teoremi: Birinci Sylow teoreminin şartlarını sağlayan bir grupta, düzen p^k olan alt gruplar her biri için bir eşlenik gruba sahiptir.

Üçüncü Sylow Teoremi: Bir grupta bir asal sayı p'nin bir bölücü olarak alt grup düzeninde göründüğünü farz edelim. O zaman, düzen p olan bir normal alt grup vardır.

Sylow teoremleri, aşağıdakiler de dahil olmak üzere birçok önemli uygulamaya sahiptir:

• Sonlu grupların sınıflandırılması
• Grup teorisi yapıları hakkında temel soruların cevaplanması
• Polinomların çözülebilirliği ve diğer cebirsel problemlerin incelenmesi

Sylow teoremleri, Norveçli matematikçi Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918) tarafından 1872 yılında kanıtlanmıştır. Bu teoremler, grup teorisi tarihinde önemli bir dönüm noktası olmuş ve günümüzde hala grup teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır.