Trigonometri: Birim Daire ve Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometri, üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyen bir matematik dalıdır. Temel araçlarından biri, Kartezyen koordinat sisteminde bir çember olan birim dairedir.

Birim daire, yarıçapı 1 olan ve merkezi orijinde (0,0) bulunan bir çemberdir. Çemberin iç teğetleri, birim daireyi dört kadrana böler ve her bir kadran, x ve y eksenlerinden biriyle sınırlandırılır.

Bir birim çember üzerinde bir nokta (x,y), orijinden noktaya çizilen bir ışın ile belirlenir. Bu ışın, x ekseniyle pozitif yönde oluşturduğu açıya θ denir.

Birim daire üzerindeki herhangi bir nokta (x,y) için şu trigonometrik fonksiyonlar tanımlanır:

* Sinüs (sin θ): (x,y) noktasının y koordinatıdır. * Kosinüs (cos θ): (x,y) noktasının x koordinatıdır. * Tanjant (tan θ): Sinüsün kosinüse oranıdır (tan θ = sin θ / cos θ).

Bu fonksiyonlar, birim daire üzerindeki bir noktanın açıyı θ ile ifade edilen konumunu belirler.

Trigonometrik fonksiyonların özellikleri aşağıdakilerdir:

* Periyodiklerdir: Sinüs ve kosinüs fonksiyonları 2π dönemi ile periyodiktir, yani sonradan 2π eklendiğinde veya çıkarıldığında tekrar ederler. * Aralıklıdırlar: Sinüs fonksiyonu [-1,1] aralığında, kosinüs fonksiyonu da [-1,1] aralığında değişir. * Ters fonksiyonları vardır: Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının ters fonksiyonları vardır. * Önemli açılar: 0°, 30°, 45°, 60° ve 90° gibi belirli açılar için trigonometrik fonksiyonların değerleri iyi bilinir ve referans açıları olarak kullanılır.

Trigonometri, üçgenleri çözmek, dalgaları modellemek, projektil yörüngelerini hesaplamak ve diğer birçok uygulamada yaygın olarak kullanılır.