Trigonometride Kareler Toplamı Formülü

Trigonometride kareler toplamı formülü, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının karelerinin toplamının her zaman 1'e eşit olduğunu belirten önemli bir eşitliktir. Formül şu şekildedir:

sin²θ + cos²θ = 1

Bu formül, trigonometrideki pek çok problemi çözmek için kullanılır. Örneğin, bir dik üçgende bilinen bir açının sinüs veya kosinüsü verildiğinde, diğer açının ölçüsü bu formül kullanılarak bulunabilir.

Formülün Kanıtı

Kareler toplamı formülü birkaç farklı şekilde kanıtlanabilir. En yaygın kanıt yöntemlerinden biri Birim Çember üzerindeki bir dik üçgeni kullanmaktır.

Birimi uzunluğundaki bir yarıçapı olan bir birim çember düşünün. Çemberin merkezinden geçen ve pozitif x eksenine θ açı yapan bir doğru çizin. Doğrunun çemberle kesiştiği noktaya P diyelim.

Dik üçgen OQP'yi düşünün, burada O çemberin merkezidir, Q doğrunun x eksenini kestiği noktadır ve P çember üzerindeki kesişim noktasıdır. Bu üçgende OP yarıçap uzunluğunda (1) ve OQ = cosθ'dir. Ayrıca, PQ = sinθ'dir.

Pisagor teoremini üçgen OQP'ye uygulayarak elde ederiz:

1² = (cosθ)² + (sinθ)²

Bu ifadeyi düzenleyerek kareler toplamı formülü elde edilir:

sin²θ + cos²θ = 1

Formülün Uygulamaları

Kareler toplamı formülü, trigonometri alanında çeşitli uygulamalara sahiptir, örneğin:

• Bir dik üçgende bilinmeyen açıyı bulmak
• Trigonometrik eşitlikleri kanıtlamak
• Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini çizmek
• Dalga denklemleri ve diğer fiziksel problemleri çözmek

Kareler toplamı formülü, trigonometride temel bir araçtır ve pek çok farklı problemde kullanılır.