Trigonometrinin Temel Kimlikleri

Trigonometri, üçgenlerde açılar ve kenarlar arasındaki ilişkileri inceleyen bir matematik dalıdır. Temel trigonometrik fonksiyonlar sinüs, kosinüs ve tanjant, bir açının karşısındaki kenarı komşu kenara bölerek tanımlanır. Bu fonksiyonlar arasındaki temel ilişkiler, trigonometrinin temel kimlikleridir.

Pisagor Teoremi Kimliği:

sin² θ + cos² θ = 1

Bu kimlik, bir dik üçgenin dik açıyı oluşturan kenarlarının karelerinin toplamının, hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir. Trigonometrik fonksiyonların karşılıklı ilişkilerini elde etmek için kullanılır.

Karşılıklılık Kimlikleri:

sin θ = cos (90° - θ)

cos θ = sin (90° - θ)

tan θ = 1 / cot θ

cot θ = 1 / tan θ

Bu kimlikler, bir açının sinüsünün, 90 dereceden o açıyı çıkararak elde edilen açının kosinüsüne eşit olduğunu, benzer şekilde diğer fonksiyonlar için de geçerli olduğunu gösterir.

Toplama ve Çıkarma Kimlikleri:

sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ

cos (θ + φ) = cos θ cos φ - sin θ sin φ

tan (θ + φ) = (tan θ + tan φ) / (1 - tan θ tan φ)

Toplama ve çıkarma kimlikleri, iki açının sinüs, kosinüs ve tanjantını toplama veya çıkarma yoluyla yeni bir açının trigonometrik fonksiyonlarına dönüştürmek için kullanılır.

Yarı Açı Kimlikleri:

sin (θ / 2) = ±√((1 - cos θ) / 2)

cos (θ / 2) = ±√((1 + cos θ) / 2)

tan (θ / 2) = ±√((1 - cos θ) / (1 + cos θ))

Yarı açı kimlikleri, bir açının yarısının sinüs, kosinüs ve tanjantını bulmak için kullanılır.

Çift Açı Kimlikleri:

sin (2θ) = 2 sin θ cos θ

cos (2θ) = cos² θ - sin² θ = 2 cos² θ - 1 = 1 - 2 sin² θ

tan (2θ) = (2 tan θ) / (1 - tan² θ)

Çift açı kimlikleri, bir açının iki katının sinüs, kosinüs ve tanjantını bulmak için kullanılır.

Bu temel kimlikler, trigonometrinin temel yapı taşlarını oluşturur ve çeşitli alanlarda kullanılan trigonometrik hesaplamaların temelini oluşturur.