Uygunsuz İntegraller

Uygunsuz integraller, integrallerinin sonsuz sınırları olan integrallerdir. Uygunsuz integraller iki şekilde sınıflandırılabilir: tip 1 ve tip 2.

Tip 1 Uygunsuz Integraller

Tip 1 uygunsuz integraller, aşağıdaki forma sahip olan integrallerdir:

$$\int_{a}^{\infty} f(x) \ dx \quad \text{veya} \quad \int_{-\infty}^{b} f(x) \ dx$$

Burada a veya b sonsuzdur. Bu integraller, alt veya üst sınırdaki sonsuz değerlere doğru olan sınırı hesaplanarak çözülür. Örneğin:

$$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2} \ dx = \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} \frac{1}{x^2} \ dx = \lim_{b\to\infty} \left[-\frac{1}{x} \right] \bigg|_{2}^{b} = 1$$

Tip 2 Uygunsuz Integraller

Tip 2 uygunsuz integraller, aşağıdaki forma sahip olan integrallerdir:

$$\int_{a}^{b} f(x) \ dx$$

Burada f(x) fonksiyonu a veya b'de tanımsızdır. Bu integraller, uygunsuzluk noktasında fonksiyonu parçalara ayırıp her parçayı ayrı ayrı integre ederek çözülür. Örneğin:

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x-1} \ dx = \int_{0}^{1-} \frac{1}{x-1} \ dx + \int_{1+}^{1} \frac{1}{x-1} \ dx$$

Burada 0 ve 1, fonksiyonun tanımsız olduğu noktalardır. Bu nedenle integrali iki parçaya ayırıyoruz ve her parçayı ayrı ayrı hesaplıyoruz:

$$\int_{0}^{1-} \frac{1}{x-1} \ dx = \lim_{b\to1-} \int_{0}^{b} \frac{1}{x-1} \ dx = \lim_{b\to1-} \left[\ln|x-1| \right] \bigg|_{0}^{b} = \infty$$ $$\int_{1+}^{1} \frac{1}{x-1} \ dx = \lim_{a\to1+} \int_{a}^{1} \frac{1}{x-1} \ dx = \lim_{a\to1+} \left[\ln|x-1| \right] \bigg|_{a}^{1} = - \infty$$

Bu nedenle, uygunsuz integral yakınsak değildir ve değeri yoktur.