Doğrusal Bağımsızlık ve Bağımlılık

Doğrusal Bağımsızlık: Bir vektörel küme, eğer herhangi bir vektörel lineer kombinasyonu sıfır vektöre eşit ancak ve ancak tüm katsayılar sıfır ise doğrusal olarak bağımsızdır. Yani,

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = 0 ise ve yalnızca ise a₁ = a₂ = ... = a_n = 0

Örneğin, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} vektör kümesi doğrusal olarak bağımsızdır çünkü bu vektörlerin herhangi bir lineer kombinasyonu sıfır vektöre eşitse ancak ve ancak tüm katsayılar sıfır ise mümkündür.

Doğrusal Bağımlılık: Bir vektörel küme, doğrusal olarak bağımsız değilse doğrusal olarak bağımlıdır. Yani, vektörel kümeden herhangi bir vektörel o, diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir.

Örneğin, {(1, 0, 0), (2, 0, 0), (3, 0, 0)} vektör kümesi doğrusal olarak bağımlıdır çünkü üçüncü vektör, ilk iki vektörün doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir: (3, 0, 0) = (2, 0, 0) + (1, 0, 0).

Doğrusal bağımsızlık ve bağımlılık, vektör uzayları ve matris teorisi gibi birçok matematiksel bağlamda önemli kavramlardır. Lineer bağımsız vektör kümeleri, boyut ve temel küme kavramlarını tanımlamak için kullanılırken, doğrusal olarak bağımlı vektör kümeleri bağımlılık ilişkilerini ve matrislerin satır ve sütun uzaylarını tanımlamak için kullanılır.